Teoría del consumidor, de la preferencia a la estimación (página 2)

Los bienes pueden ser particionados en grupos donde las
cantidades en un grupo son independientes de las cantidades en
otros grupos. Si los alimentos pertenecen a un grupo, el
consumidor puede ordenar diferentes canastas dealimentos en un
orden bien definido, el cual es independiente del consumo en
gasolina, entretenimiento, arrendamientos, y cualquier bien por
fuera del grupo. Esto significa que nosotros tendríamos
funciones de sus utilidades para cada grupo y que los valores de
cada subgrupo de utilidades se combinan de tal forma que se puede
obtener una utilidad total.

Separabilidad y sustitución
intergrupal.

La separabilidad débil implica restricción
sobre el grado de sustituibilidad entre los bienes, en grupos
diferentes. Suponga que las preferencias separables son
representadas por una función de utilidad de la
forma:

Pruebas de separabilidad.

La mayoría de las pruebas de separabilidad son
desarrolladas por Byron (1969), Jorgenson-Lau (1975) y Pudney
(1981), quienes han usado esta técnica para encontrar
patrones de separabilidad entre bienes con cierto grado de
separabilidad en un período determinado.

Barten ha comprobado la hipótesis de la
restricción de separabilidad entre bienes y ocio usando
series de tiempo para datos en U.S.A y ha rechazado la
separabilidad. Los resultados en últimas podrán
sugerir una considerable especificación errónea de
los estudios tradicionales.

Deaton (1981) sugiere que existe poco conflicto con la
separabilidad. Blundell y Walker (1982) usando una
variación de (4.20) rechazan la hipótesis de que el
ocio de las esposas sea separable de los bienes. Deberemos
observar que probar la separabilidad entre diferentes
períodos de tiempo es muy difícil, ya que es
imposible obtener estimadores no restringidos de los efectos
sustitución entre los bienes individuales a través
de los diferentes períodos.

La función
de producción de hogares

Entre 1965 y 1966 los artículos de Gary Becker y
Kevin Lancaster, introducen el concepto de Función de
Producción de Hogares (household production function). De
esta forma, los consumidores en lugar de obtener la utilidad
directamente de los bienes comprados en el mercado, derivan
ésta de los atributos que poseen los bienes; por ejemplo,
aunque el consumidor compre alimentos sin cocinar en el mercado,
la utilidad se deriva de consumir una comida que ha sido
producida a través de combinar alimentos crudos con
trabajo, tiempo, electricidad y otros insumos.

Muchos bienes parecen ser producidos de la forma
anterior. Al igual que los alimentos, la ropa y gran parte de los
bienes parecen exhibir una gama de variedades y cualidades. Los
consumidores parecen seleccionar una o pocas de estas cualidades
y privarse completamente del consumo de otras. Becker (1965)
propone que "ver una opera" depende de una serie de insumos como
el tiempo, los actores, etc. Y por ejemplo, "dormir" depende del
insumo cama, del hogar y tiempo. De igual forma, "el jugo de
naranja" se produce con un vector de características tales
como calorías, vitamina C y tiempo.

Lancaster (1966) postula que el vector de bienes X,
comprado en el mercado al vector de precios P se transforma por
alguna función Z=g(X), en la cual los atributos Z producen
alguna utilidad. En forma general, el problema se puede plantear
como:

Siendo Y el Ingreso total del consumidor. Combinando la
función de transformación y la función de
utilidad, se puede plantear el problema de la siguiente
forma:

Si los cambios en los costes de la tecnología,
son menores que el costo de producir: algún atributo Zi,
el cambio en algún bien podría seguirse realizando
al menor costo de producción y al mismo tiempo maximizar
los atributos Zi de la utilidad.

Por ejemplo, si para producir un artículo usted
usa una computadora y dado que los productores de computadores
van mejorando la calidad de los procesadores pasando desde el 286
hasta el 486 y del Pentium I hasta el Pentium IV, aun cuando un
individuo cambie de computadora para producir el artículo,
la utilidad derivada de éste no ha cambiado. La idea de
una computadora que usa Pentium como un nuevo bien es lo que el
análisis tradicional nos indica. Sin embargo, esta idea
puede replantearse ya que la invención de una nueva
"computadora" no debe generar una reorganización en el
conjunto de preferencias sino una nueva solución al
problema de la minimización de los costes que involucra el
atributo "computadora".

Los consumidores maximizarán la utilidad de los
atributos consumidos sujetos a las restricciones de presupuesto y
a las restricciones de tiempo.

Estática comparativa.

Como cualquier modelo de maximización de la
utilidad, todos los parámetros del modelo de Becker entran
en la restricción, y las implicaciones usuales pueden ser
derivadas de la maximización solamente. Considerando los
efectos de sustitución puros las demandas Hicksianas se
obtienen de la siguiente forma:

El análisis sobre los cambios en salarios es
todavía más problemático. El
parámetro w entra en el precio total de cada uno de los Zi
para el cual el tiempo es consumido.

Un cambio en w deberá cambiar muchos precios
simultáneamente (recreación, ocio, etc.)
complicando el análisis de la demanda. Dado que w aparece
en todas las ecuaciones de primer orden (primeras derivadas) es
imposible establecer ecuaciones de demanda compensadas. Por esta
razón, Becker arguye que si el salario se incrementa, el
consumo podría cambiar de bienes que son más
intensivos en tiempo a aquellos menos intensivos en tiempo. Esto
parece plausible, pero debe hacerse supuestos adicionales sobre
los valores de varios de los parámetros en el modelo para
obtener un resultado riguroso.

Las teorías económicas de la familia, de
las tasas de nacimiento, del número de hijos
óptimos, de la participación en el mercado de
trabajo, de la diferenciación entre grupos de hombres y
mujeres e incluso el reciente auge en los modelos
medioambientales del coste de viaje, se derivan de aquí.
Mayores salarios en el mercado para las mujeres, por ejemplo,
aumentan el coste de oportunidad de los niños y de otras
tareas que deberán realizar las mujeres en el hogar. De
esta forma, el incremento en el consumo de "bienesconvenientes"
por familias con dos trabajadores puede ser atribuido a salarios
de mercado más altos y mayores salarios compraran
ítems con "mayores cualidades" donde la cualidad del
atributo reduce la cantidad de tiempo dedicado a las tareas en el
hogar (reparaciones, atención de los niños,
etc.).

La teoría de la función producción
de hogares nos da para pensar más rigurosamente sobre la
importancia de las elecciones y provee un marco para reemplazar
las explicaciones basadas en los gustos, por aquella basada en el
cambio en las oportunidades.

Análisis de la riqueza en el mercado de
bienes.

Los trabajos de Willig (1976) y Hausman (1981) emplean
el teorema de la dualidad para demostrar que dada la unión
entre el gasto y las funciones de utilidad, la demanda compensada
no observada (debido a los atributos Zi) puede ser encontrada a
partir de la función de demanda Marshalliana que sí
es observada. Bockstael y MacConell (1983) por su parte tienen
serios reparos en los trabajos anteriores. Como ellos mencionan,
es imposible derivar la curva de demanda Marshalliana de la
compensada dada la ausencia de precios exógenos, esto es,
la utilidad y la función de gasto existen, pero la
ausencia de precios para los atributos impide directamente usar
la identidad de Roy para recuperar la Marshalliana de la
función de utilidad indirecta. Deberá observarse
también que es imposible moverse de una función de
demanda compensada a una única función de gasto
debido a las no linealidades en la función de gasto cuando
existen diferentes tecnologías en la producción de
los Zi'S. Las medidas de riqueza pueden ser derivadas en un
espacio de bienes pero de una forma diferente.

Bienes Públicos.

Supongamos que a sea un bien medioambiental, tal como la
calidad del aire, un lago o un paisaje. Entonces a entra en la
función de utilidad directamente y es complementario con
algún bien denotado como Z1 , por ejemplo:

Variables
dependientes discretas y limitadas

Especificación del
modelo.

Formas comunes de las funciones de
probabilidad.

Como menciona Green (1999), restringir B'xi al intervalo
(0, 1) produciría probabilidades y varianzas negativas.
Dadas las desventajas del modelo de Probabilidad Lineal, su
interés ha ido decayendo, lo cual ha originado que modelos
como el Logit o Probit se usen más frecuentemente. Veamos
en qué consisten estos modelos.

En modelos univariados dicotómicos no es posible
distinguir cuándo usar Logit o Probit, a menos que exista
una concentración en la cola dadas las
características del problema estudiado.

Estimación.

La elección de una F (•) en particular lleva
a un modelo empírico. Entre las formas disponibles para
calcular, se encuentra el método de algoritmos de Newton,
Newton-Rampson, Máxima verosimilitud. Hoy día,
calcular un Logit o un Probit es bastante sencillo, pues estos
métodos se encuentran en paquetes estadísticos como
el RATS, SAS, SPSS, GAUSS, LIMDEP, E-Views, EasyReg (de Libre
Uso) y el STATA debiendo solamente especificarse qué
algoritmo se desea.

Domencich y McFadden.

Domencich y McFadden sustentan que el término
aleatorio de error está determinado por el tipo de
transporte, que a su vez vendrá determinado por una serie
de características socioeconómicas que no son
observadas por el investigador.

Pencavel.

Estudia cómo inciden en las decisiones de
trabajar de la esposa y el esposo la ayuda económica
brindada por el gobierno de los Estados Unidos en Seattle y
Denver. De esta forma, estima la probabilidad de trabajar de la
esposa usando 1657 familias durante 2 años. Las variables
que el autor usa son: F igual a uno si la familia pertenece al
experimento y cero lo contrario; L igual a uno si el esposo
trabaja durante el año anterior al experimento y cero lo
contrario; Y igual a uno si la observación es
extraída del segundo año de experimento y cero si
es extraída del primer año; U igual a uno si el
esposo estuvo desempleado durante el año.

Modelo de efectos fijos y aleatorios en datos de
panel.

El modelo Logit condicionado.

Schmidt y Strauss (1975), estiman un modelo de
ocupación basado en una muestra de 1000 observaciones cuya
variable dependiente es la Ocupación, que es igual a 1 si
es empleado doméstico, 2 si es obrero no especializado, 3
si es artesano (trabajador manual), 4 si es oficinista y 5 si es
trabajador profesional. En el conjunto de variables
independientes se incluyeron la constante, la educación,
la experiencia, la raza y el sexo. El modelo, incluyendo los
estratos sociales. Debe observarse que las probabilidades
estimadas dependen de los estratos 1, 2, 3, 4 y 5. De esta forma,
el modelo condicional Logit computa las probabilidades relativas
a cada estrato, el estrato podrá contener pocos casos o
muchos casos.

Modelos multinomiales.

Modelos ordenados.

En los modelos ordenados, los valores que y toma,
corresponden a una partición sobre la línea real. A
diferencia de un modelo no ordenado, donde la partición
correspondería a particiones no sucesivas sobre la
línea real o a particiones de dimensiones mayores sobre el
espacio euclideano. En la mayoría de las aplicaciones, el
modelo ordenado toma la forma:

Para alguna distribución F, se puede definir un
modelo Probit ordenado o un modelo Logit ordenado.

Modelo Logit multinomial.

McFadden (1974) considera el siguiente modelo
multinomial derivado del problema del consumidor. Considere a un
individuo (i) cuyas utilidades están asociadas con tres
alternativas, de la forma siguiente:

Variables dependientes
limitadas.

Existe un gran número de datos cuya
observación nos muestra que están limitados o
acotados de alguna forma. Este fenómeno lleva a dos tipos
de efectos: el truncamiento y la censura.

El efecto de truncamiento ocurre cuando la muestra de
datos es extraída aleatoriamente de una población
de interés, por ejemplo, cuando se estudia el ingreso y la
pobreza se establece un valor sobre el cual el ingreso se
encuentra por encima o por debajo del mismo. De esta forma,
algunos individuos podrán no ser tenidos en
cuenta.

Por otro lado, censurar es un procedimiento en el cual
los rangos de una variable son limitados a priori por el
investigador; este procedimiento produce una distorsión
estadística similar al proceso de truncamiento.

Truncamiento.

Una distribución truncada es la parte de una
distribución no-truncada antes o después de un
valor específico; imagínese por ejemplo que
nosotros deseamos conocer la distribución de los ingresos
anteriores a 100.000 o el número de viajes a una zona
mayores de 2, ésta será tan sólo una parte
de la distribución total.

Censuramiento.

Un procedimiento normal con datos
microeconómicos, consiste en censurar la variable
dependiente. Cuando la variable dependiente es censurada, los
valores en un determinado rango son todos transformados a un
valor singular. De esta forma, si definimos una variable
aleatoria y transformada de la variable original como:

Modelo Tobit tipo 2:

Donde C es el tiempo gastado en el hogar para cuidar los
niños, X es un vector de dos bienes, T es tiempo total
disponible y V otros ingresos.

Modelo Tobit tipo 3:

Heckman (1974) propone un modelo diferente al de Gronau
en el sentido de que Heckman incluye la determinación del
número de horas trabajadas [H] en el modelo. Al igual que
Gronau, Heckman asume que el salario ofrecido W0 es independiente
de las horas trabajadas, además la ecuación de W0
es la misma de la ecuación de Gronau:

Modelo Tobit tipo 4:

Modelo Tobit tipo 5:

El modelo Tobit tipo 5 se deriva del tipo 4, y se omite
la ecuación para y1i. Dado que solamente observamos el
signo de y*1i.

Contrastes de
especificación:

El origen de estos contrastes se remonta a los trabajos
de Rao (1947) en lo que se conoce como "contraste Score" o
"contraste de puntuación". Posteriormente Silvey (1959)
propone el contraste de multiplicadores de Lagrange que no es
otra cosa que el mismo contraste de Rao. El contraste de
multiplicadores de Lagrange no es el único que se pueda
usar, pues están el de Hausman (1978) y el contraste de
momentos condicionales [Newey ICESI (1985) y Tauchen (1985)].
Para Pagan y Vella (1989) el uso del contraste de
especificación en variables dependientes limitadas no es
muy común debido a la dificultad computacional de los
mismos.

Los contrastes de especificación que se
desarrollarán serán: El contraste de Rao ó
contraste de puntuación; el contraste de
especificación de Hausman, el cual parte de los trabajos
de Durbin (1954) y por lo tanto se conoce también como
Durbin-Hausman o Durbin-Wu-Hausman debido a los trabajos de Wu
(1973); el contraste de la matriz de información de White
(1982) y el contraste de momentos condicionales sugerido por
Newey (1985) y Tauchen (1985).

Contraste de Rao ó contraste de
puntuación:

Suponga que existen n observaciones independientes y1,
y2, y3,……, y n con funciones de densidad idénticas f(
y, q ) donde q es un vector p ´ 1 de p parámetros.
Entonces la función de verosimilitud L ( q ), el vector de
puntuación (Score vector) d( q ), y la matriz de
información I( q ) vienen definidas como:

Breusch y Pagan (1980) sugieren usar este
estadístico como un contraste de especificación. La
ventaja del contraste de puntuación consiste en que
depende solamente de los estimadores máximos
verosímiles del modelo restringido, ya que tanto el vector
de puntuación como la matriz de información se
basan en el modelo total. Una extensión del contraste de
puntuación consiste en un estimador general más que
en la restricción máxima verosímil, a esta
extensión se le denomina el contraste Neyman-Rao [Hall y
Mathiason (1990)].

El contraste
Durbin-Hausman:

El contraste de la matriz de
información de White:

La matriz de información de White (1982) se basa
en el hecho de que en un modelo especificado correctamente,
tendremos:

Cox (1983) y Chesher (1984) demuestran que el contraste
de la matriz de información puede ser interpretado como un
contraste de puntuación para rechazar heterogeneidad o una
variación de los parámetros en q.

El contraste de momentos
condicionados (CM):

Contrastes de
Heterocedasticidad:

Entre los primeros trabajos sobre Heterocedasticidad
realizados por Maddala y Nelson (1975) se argumentan que una
regresión con Heterocedasticidad en los errores, los
estimadores son consistentes pero ineficientes. En el caso del
Tobit, el estimador máximo verosímil (ML) es
inconsistente en la presencia de Heterocedasticidad

En un modelo de regresión, la comprobación
de Heterocedasticidad se realiza conbase en los residuos del
modelo de mínimos cuadrados. Pagan y Park (1993) sugieren
que los contrastes existentes para probar Heterocedasticidad
pueden ser considerados como un contraste de momentos
condicionados (CM). La condición de momentos para un
contraste CM, será:

De esta forma, el logaritmo máximo
verosímil L será:

Davidson y Mackinnon (1984) denotan este contraste como
LM1. Considere ahora el estadístico basado en la matriz de
información.

Contrastes de
normalidad:

Cuando no existe normalidad, existen sesgos
en los estimadores sugieren un contraste CM para normalidad con
base en el tercer y cuarto momento de los residuos.

Una forma de corregir este problema consiste en obtener
los residuos generalizados:

Bera, Jarque y Lee (1984) construyen el siguiente
contraste: Suponga una función de densidad g(m) que
satisface la ecuación diferencial:

Contraste de sesgos de
selección:

El contraste para sesgos de selección fue el
primer contraste de especificación en modelos con
variables dependientes limitadas. Este contraste fue desarrollado
por Gronau (1974) y Heckman (1979). En términos generales
se le conoce como el contraste de Heckman. El problema planteado
parte del modelo de autoselección tipo Heckman, de la
forma:

Melino (1982) muestra que el contraste de significancia
de li es un contraste de puntuación sobre r = 0. El modelo
puede ser estimado en dos etapas, sin embargo, existen
restricciones: Si x2i contiene solamente una constante entonces
li es una constante y el coeficiente rs no es estimable; si li es
una función lineal de los componentes de x1i entonces se
producirá multicolinealidad, esto ocurre cuando x2i
contiene solamente variables dummy (falsas) y x1i incluye las
mismas variables dummy y sus combinaciones.

Contraste de
estabilidad:

No es muy común contrastar estabilidad en modelos
de variables dependientes limitadas, sin embargo, Anderson abre
el camino en este tipo de contrastes.

Anderson propone comparar el logaritmo de la
verosimilitud cuando el modelo es regresado sobre un
período, con respecto a un período posterior. El
trabajo se inspira en el contraste de estabilidad de Chow,
extendiéndose el uso de las variables dummy a los modelos
Tobit y Probit. Hoffman y Pagan (1989) sugieren, siguiendo a
Anderson, definir primero un período de 1 hasta s y un
período de s+1 hasta s+S, y elaborar el
estadístico:

El cual sigue una distribución chi-cuadrada con s
grados de libertad. Este contraste puede ser aplicado a cualquier
modelo de variables dependientes limitadas y se estima por
máxima verosimilitud.

Variables
latentes:

Las variables latentes representan conceptos
unidimensionales en su más pura forma, puede decirse que
se trata de variables abstractas como inteligencia, paisaje, etc.
Así como todas las variables latentes corresponden a
conceptos, ellas son variables hipotéticas que
varían en su grado de abstracción: inteligencia,
clase social, poder y expectativas son variables latentes
abstractas creadas en la teoría. Variables menos
abstractas son la educación y el tamaño de la
población.

Un modelo latente se acompaña de un conjunto de
ecuaciones estructurales que resumen las relaciones entre las
variables latentes. Bollen (1989) usa las relaciones entre la
democracia política y la industrialización en
países desarrollados, para introducir la noción de
modelos de variables latentes. Dado que algunas sociedades han
alternado entre dictaduras y regímenes electorales, es
difícil discernir si la asociación realmente
existe. La democracia política se refiere a la
extensión de los derechos políticos (imparcialidad
de las elecciones) y libertades políticas (libertad de
prensa) en un país. La industrialización es el
grado en el cual la economía de una sociedad se
caracteriza por el proceso de manufactura mecanizado, esto
implica riqueza social, población educada, avances en el
estándar de vida, y éstas son las oportunidades de
una democracia.

Presumaque se tienen tres variables latentes aleatorias:
democracia política en 1965 y 1960 e
industrialización en 1960. Uno podría asumir que la
democracia política en1965 es una función de la
democracia política e industrialización de 1960. No
existe nada que nos diga que el nivel de industrialización
es una variable latente exógena (independiente) y se
simboliza como x1, esta es exógena, en tanto sus causas
están por fuera del modelo. La variable democracia
política es una variable latente endógena, ella
está determinada por variables en el modelo, cada variable
latente es representada por hi. De esta forma, la democracia
política en 1960 es representada por h1 y la democracia
política en 1965 por h2, las variables latentes
endógenas son parcialmente explicadas en el modelo y el
componente no explicado gi es un término aleatorio; de
esta forma, el modelo de variables latentes para el ejemplo
será:

Ecuaciones estructurales con
variables observadas:

La ecuación anterior es una representación
general de ecuaciones estructurales con variables observadas de
la forma:

La Matriz de covarianzas:

Donde F es la matriz de covarianzas de x, Y es la matriz
de covarianzas de y.

Identificación:

La identificación del modelo anterior con una o
más ecuaciones, requiere una investigación de
cuáles parámetros son conocidos y desconocidos. Por
parámetros conocidos entiéndase aquellos que pueden
ser identificados, estos parámetros generalmente son
características de la población y de la
distribución de las variables observadas como las
varianzas y covarianzas para los cuales los estimadores de la
muestra son consistentes. Los parámetros desconocidos son
aquellos parámetros cuyo estatus de identificación
no es conocido, estableciendo entonces el investigador
cuándo existen valores únicos para
estos.

La identificación deberá establecer cuando
se alcanzan valores únicos de q1 y q2 en esta
ecuación. Claramente con dos parámetros
desconocidos q1, q2 en una sola ecuación, la
identificación no es posible. Para algún valor dado
de Var(y) un conjunto infinito de valores de q1 y q2 satisfacen
dicha ecuación. Sin embargo, adicionando una segunda
ecuación q1 = q2 se puede asegurar la
identificación por la cual cada parámetro
será igual a. Este principio general deberá
mantenerse para ecuaciones estructurales más
complicadas.

Regla t:

Esta es la condición más sencilla, pero no
es una condición suficiente. La regla t, parte de que el
número de elementos no-redundantes en la matriz de
covarianzas de las variables observadas deberá ser mayor o
igual al número de parámetros
desconocidos

en q, esto es:

Donde, p+q es el número de variables observadas y
t es el número de parámetros libres en
q.

Regla del B
nulo:

En un modelo multiecuacional donde las variables que no
son endógenas afectan a alguna variable endógena,
la matriz B es cero. Tenemos:

La matriz B es cero dado que y1 no afecta a y2, ni y2
afecta y1. De esta forma se establece que la
identificación de algún modelo donde B es cero, los
parámetros desconocidos en G, F y Y son funciones de los
parámetros identificados de S.

Si Y no es diagonal y los errores de las últimas
dos ecuaciones están correlacionadas, entonces tal modelo
será llamado "Seemingly unrelated regresions". La regla B
nula es una condición suficiente para identificar un
modelo.

Regla recursiva:

A diferencia de la regla anterior, la regla recursiva no
requiere que B=0; para aplicar la regla recursiva B deberá
ser una matriz triangular, y Y diagonal. Una condición
más exacta para B, consiste en que ésta sea una
matriz triangular inferior. Si ambas condiciones se mantienen, el
modelo está identificado:

Condiciones de rango y
orden:

Si una condición de restricción en una
ecuación se determina a partir de las variables excluidas,
entonces "una condición necesaria para que una
ecuación sea dada consiste en que el número de
variables excluidas de la ecuación sea al menos p-1 ".
Considere el modelo:

Multiplicando ambos lados por N y tomando el valor
esperado:

Multiplicando ambos lados por las variables
exógenas y tomando valores esperados:

Estimación:

El procedimiento de estimación se deriva de la
relación de la matriz de covarianzas de las variables
observadas a los parámetros estructurales. De esta
forma:

Donde S es la matriz de covarianzas para yi y xi. A
través de este procedimiento se obtendrán
estimaciones máximo verosímiles. Mora (1997),
supone el siguiente modelo:

Supóngase que el paisaje rural es una variable
latente. Debido a que existen diferentes características
que determinan un paisaje supondremos que este tiene cuatro
indicadores principales, como se observa en la siguiente
gráfica:

Donde el paisaje P*i es la variable latente y es el
verdadero paisaje. El P indicador del paisaje en P*i sirve como
indicador de la variable latente, el verdadero paisaje. Sin
pérdida de generalidad, si el indicador es centrado
alrededor de cero, de tal forma que P*i tiene un valor extremo,
con los parámetros consistentes de los elementos de l, la
varianza de P*i , F , y la varianza del error.

Modelos de
Utilidad Discreta

Habitualmentelas elecciones de los consumidores
involucran elecciones discretas como usar gas o no, usar
energía eléctrica o no, comprar un automóvil
o no, etc.

En los capítulos anteriores hemos considerado a
un individuo que elige una alternativa de un conjunto de
elecciones finitas A.

La anterior aproximación ha sido criticada por
sicólogos como Thurstone (1927), Luce y Supes (1955),
Tversky (1969) y por economistas como Georgescu-Roegen (1958),
Quandt (1956) y Macfadden (1981, 1986), ya que implica fuertes
postulados sobre el poder discriminatorio de los agentes,
así como una capacidad ilimitada de procesar
información. Para Tversky, cuando se realiza una
elección entre varias alternativas, las personas parten de
experiencias inciertas e inconsistentes. Esto es, las personas no
están seguras sobre cuál alternativa
deberían seleccionar, así como tampoco toman
siempre la misma elección bajo condiciones parecidas. Este
comportamiento, aparentemente irracional, lleva al autor a
concluir que "el proceso de elección debe ser visto como
un proceso probabilístico" (Tversky, 1972, p.
281).

Naturalmente, deberemos preguntarnos qué factores
determinan dicha probabilidad. Es decir, el comportamiento de los
agentes es intrínsecamente probabilístico o el
modelador no puede representar el comportamiento del consumidor,
o ambos. Con respecto a lo primero, Quandt (1956) arguye que una
alternativa puede ser vista como un conjunto finito de
características, donde las preferencias son definidas
directamente sobre las características e indirectamente
sobre las alternativas.

Reglas de
decisión

Modelos con regla de decisión
estocástica:

La interpretación proviene de Tversky (1972a),
para quien la utilidad de diferentes alternativas es
determinística, pero el proceso de elección en
sí mismo es probabilístico.

En este tipo de modelos el individuo no necesariamente
elige la alternativa que da la mayor utilidad; en lugar de esto,
existe una probabilidad de elegir cada una de las posibles
alternativas,incorporando la idea de "racionalidad limitada" dado
que los individuosno necesariamente seleccionan lo que es mejor
para ellos [Macfadden (1981, pp.198)].

El primer modelo desarrollado bajo esta perspectiva es
el de Luce (1959). Luce muestra que cuando las
probabilidades de elección satisfacen los axiomas de
elección, una escala puede ser definida sobre las
alternativas, de tal forma que las probabilidades de
elección pueden ser derivadas de escalas de
alternativas.

El modelo de Luce tiene como inconveniente que una nueva
alternativa, que sea más que proporcional a las otras,
reducirá las probabilidades de elección de
alternativas existentes que son similares y causará
reducciones menos que proporcionales en las probabilidades de
elección en alternativas diferentes (Anderson, et. al, pp.
23-25).

Tversky (1972), propone que la elección de
una alternativa puede verse como un proceso estocástico,
en el cual las alternativas son sucesivamente eliminadas hasta
que quede solamente una; para esto supone que cada alternativa
está compuesta por una lista de características,
las cuales son binarias en términos de que las
alternativas poseen o no dichas características (por
ejemplo, un automóvil puede o no tener aire acondicionado,
sonido, etc.).

A cada característica se le asigna una escala
positiva o valor de "utilidad" expresando la importancia de la
característica para el individuo. El proceso de
selección de una alternativa es el siguiente:
Primero, una característica se selecciona y todas
las alternativas que no posean esta característica son
eliminadas del conjunto de elección.

Segundo, se selecciona como el criterio para
eliminar aquellas alternativas que quedan y así
sucesivamente. Si una alternativa queda, ésta es la
alternativa elegida por el individuo. Si varias alternativas
quedan, ellas son elegidas con igual probabilidad.

La probabilidad de seleccionar una característica
como el criterio de elección de las alternativas que
quedan depende de la escala de valores. Como podrán
existir secuencias de eliminación diferentes, la
probabilidad de elegir una alternativa particular es la suma de
las probabilidades de todas las secuencias que finalizan con esta
alternativa. Para ilustrar el proceso de eliminación de
Tversky considere el siguiente ejemplo:

Este evento se debe asumir que ocurre con probabilidad.
Si la característica cuarta o quinta es una de las
seleccionadas, entonces la alternativa a podrá ser
seleccionada como la probabilidad de seleccionar la cuarta
característica que tiene una probabilidad, entonces c es
eliminado pues no posee esta característica, la
alternativa a se elegirá por lo tanto con una probabilidad
P( a , b ). La quinta característica es seleccionada con
probabilidad y si este evento ocurre b es eliminado y a es
elegido con probabilidad P( a , c ).

Ya que el proceso de selección de la primera
característica es un evento mutuamente excluyente,
tendremos:

Observe que en P(a, b) la característica cuatro
es común en a y b, por lo cual se elimina. De igual forma
en P(a, c) la característica cinco es común en b y
c. El procedimiento mostrado por Tversky se resume en los
siguientes pasos:

• Paso 1: Elimine las características comunes a
  todas las alternativas.

• Paso 2: Seleccione una de las características
  que permanecen.

• Paso 3: Elimine las alternativas que no poseen esta
  característica.

• Paso 4: Deténgase si las alternativas que
  quedan tienen la misma característica, de otra forma
  regrese al paso 2.

Formalmente, suponga que existe una función U no
negativa que especifica la utilidad para cada
característica y denótese S como el número
de características que están presentes
después de haber eliminado las características
comunes a las alternativas en el conjunto de elección S
Í A.

Finalmente, sea Si el conjunto de las alternativas
contenidas en S que contienen las características i, i =
1, 2,…, S. En el modelo de Eliminación por Aspectos
(EBA) propuesto por Tversky, la probabilidadde que la alternativa
a Î S sea elegida vendrá dada por:

Cuando todas las características son comunes a
todas las alternativas en S y PS ( a ) = donde es el
número de elementos en S. Como sepuede observar, es
recursivo, esto es, PS(a) es el peso de la suma de las
probabilidades Psi(a) donde a ha sido elegido del conjunto de Si
alternativas teniendo las características i en
común,

i = 1, 2,…, S.

Modelos con utilidad
estocástica:

Existen dos versiones tradicionales de los modelos de
utilidad estocástica.

El modelo de Thurstone tiene su origen en una
serie de experimentos donde se les preguntaba a los individuos
acerca de comparar intensidades de estímulos
físicos, por ejemplo, el rango de tonos en términos
del ruido. Dada la variabilidad en las respuestas, Thurstone
propone que un estímulo provoca una "sensación" o
un estado sicológico que es la realización de una
variable aleatoria. Es así como, "las utilidades se asumen
que varían de un momento a otro, y el proceso de
decisión consiste en una regla fija de escoger la
alternativa con la mayor utilidad momentánea"

Ahora bien, considere un individuo compuesto por varios
homo-económicos. Cada tipo obedece a la teoría
neoclásica, y dependiendo del estado de la mente del
individuo un homo-económico en particular es seleccionado,
por lo cual el individuo se comporta racionalmente según
una utilidad determinística. De acuerdo con esta
aproximación, los valores de las alternativas en A
deberán ser considerados como variables aleatorias, U1 +
e1,…, Un + en, las variables U1,…, Un son escalas de valores
asociados a alternativas constantes mientras que e1,…, en son
variablesaleatorias. Suponga que la función de
distribución acumulativa de e = (e1,.., en) es continua
con respecto a la medida de Lebesque [Pr(ei – ej = a = 0) " a
constante e i ¹ j ]. Si ei tiene media cero (de lo contrario
la media de ei puede ser adicionada al escalar mi), las
probabilidades del conjunto de elección vienen
determinadas por:

La versión de Macfadden es conceptualmente
diferente: considere una población de individuos haciendo
la misma elección sobre el conjunto A y determine la
fracción de la población que elige una alternativa
determinada. La población total puede ser dividida en
subpoblaciones tales que cada subpoblación sea
homogénea con respecto a ciertos factores
socioeconómicos observables (ingreso, edad,
profesión, etc.). Cada individuo se supone que tiene una
función de utilidad determinista U definida sobre A. Sin
embargo, el modelador podrá observarimperfectamente las
características que influencian las decisiones
individuales y entonces tendrá un conocimiento imperfecto
de lafunción de utilidad U. La función U se
descompone en dospartes, unaparte:m que representa la parte
conocida de la utilidad y definida sobre
lascaracterísticas observables, y la otra parte, e, que
representa la diferencia entre U y m . Para cada i = 1, 2,…, n
la utilidad deseada de la alternativa i puede escribirse
como:

Pensando que el comportamiento es determinístico,
para el modelador es imposible predecir exactamente la
elección del individuo dado que él no puede ser
observado. Esto es posible, ya que cada miembro difiere de los
otros en la subpoblación considerada con respecto a las
características no observables y los factores que
influencian al individuo en su elección. De esta forma, Ui
puede ser modelado como una variable aleatoria:

Funciones de densidad para
elecciones discretas:

Se observa el valor de la función de densidad
acumulativa de e sobre U1 – U2.

Supongamos que e esté distribuido uniformemente
en el intervalo [-L, L] , entonces:

El cual es un Probit.

La curva tiene un punto de inflexión en m' – m' '
dondePA (1) = ½. PA (1) es decreciente o creciente en m
cuando U1 esmayor o menorque U2. Un modelo de elección
determinístico inicialmente se puede definir entre los
siguientes tres modelos:

Funciones de utilidad y funciones
indirectas de utilidad:

Un individuo consume de acuerdo con una función
de utilidad definida sobre los bienes X1,……Xn y Z, siendo Z
el numerario. La utilidad del consumidor podría
también depender de una serie de atributos de los bienes
X's denotadas por b1,…..bn, los cuales son tomados
exógenamente; adicionalmente las preferencias
podrían depender de características propias como la
educación, la raza, la cultura, la edad…, etc.,
representadas por el vector S18.

Y la función indirecta de utilidad vendrá
dada por:

Dado que V (.) es cuasi convexa, la
solución de esquina puede representarse como:

En el punto A, la utilidad indirecta al precio j es
máxima.

Por ejemplo, si N fuese igual a dos se puede establecer
que:

En principio la ecuación anterior puede ser
obtenido por máxima verosimilitud, sin embargo
Haneman(1984) sostiene que en la práctica las ecuaciones
normales podrían tener múltiples raíces, y a
menos que se comience con un estimador inicial consistente, no
existe garantía de convergencia a un máximo global.
Usualmente se sugiere el procedimiento de dos etapas de Heckman,
esto es, encontrar por máxima verosimilitud, usando un
Logit, el conjunto de parámetros que serán
consistentes pero no eficientes dado que ellos ignoran la
información contenida en datos continuos;

Finalmente, se puede usar la subrutina Maxlik del
programa gauss y obtener estimadores eficientes, o usar el
programa LIMDEP.

Elecciones discretas con productos
diferenciados:

El consumidor representativo es un agente cuya utilidad
nos muestra un conjunto de preferencias diversas. Ya que en la
práctica los consumidores tienden a comprar, solamente
una, o en todo caso muy pocas de las variantes de un producto que
se les ofrece, el consumidor representativo ha sido bastante
criticado.

En este sentido, el interés principal de esta
sección, consistirá en mostrar cómo
encontrar un consumidor representativo para unapoblación
de consumidores que realizan elecciones discretas, dados unos
supuestos sobre el proceso de elección o la
elección de probabilidades y cuáles serían
las propiedades de la función de utilidad correspondiente.
Suponga que existen m+1 bienes y N consumidores
estadísticamente idénticos e independientes.El bien
0 es perfectamente divisible y se toma como numerario. Los bienes
i= 1, 2,….., m son los variantes de un productodiferenciado a
los precios p1,…, pm.

Sea A un conjunto de variantes donde la variante i se
asocia a un índice de calidad ai. Cada consumidor tiene un
ingreso real Y con el que puede comprar unaunidad de una variante
singular.

La función anterior deberá satisfacer las
siguientes propiedades:

Por la segunda propiedad se garantiza la igualdad de las
derivadas cruzadas de los precios.La tercera propiedad significa
que la probabilidad depende solamente de las diferencias en
precios.

La función de demanda para un
continuo de consumidores:

Considere un continuo de consumidores igual a N cada uno
con gustos determinísticos. Un consumidor tiene un ingreso
Y y compra una unidad de una variante de un producto
diferenciado. La función de utilidad indirecta
condicionada viene dada por:

Donde e1… em describe las valoraciones de un
consumidor para un conjunto de variantes. Cada conjunto de
valoraciones define un tipo de consumidor.

La cual es igual al total de consumidores en el segmento
de mercado para la variante i. Es importante observar que la
función de densidad del consumidor cumple el mismo papel
que la función de densidad de probabilidades. Sin embargo,
la diferencia entre esta y aquella es sustancial, pues la
función derivada de la integración de las
utilidades máximas sobre la densidad de probabilidades
puede ser interpretada como la utilidad esperada del consumidor,
mientras que la integral de las utilidades máximas de los
individuos sobre la densidad de tipos producirá la
función de riqueza a partir de la utilidad. Esta
última idea se desarrollará a
continuación.

Suponga que la función de riqueza derivada de la
utilidad se define como:

Donde W = NY es el ingreso agregado. Note primero que V
satisface las características propias de la función
indirecta de utilidad.

Primera propiedad: V es continua en pi y
W.

Segunda propiedad: V no es creciente en
pi y es creciente en W.

Tercera propiedad: V es convexa en
pi.

Cuarta propiedad: V es homogénea
de grado cero en todos los precios ingreso.

La propiedad tercera se sigue del hecho de que la
integral de funciones convexas es convexa,21 la cuarta propiedad
se mantiene en tanto p1,..,pm y W se encuentran en
términos reales al dividir por el precio del bien 0, el
cual es el bien numerario. Dado que las utilidades individuales
son lineales en el ingreso, la utilidad marginal del ingreso es
igual a uno para todos los individuos. Lo cual significa que un
cambio en cualidades o precios que aumentan a V aumentará
las transferencias de ingreso en todos los consumidores
situándoles mejor que antes del cambio en precios o
ingreso. El segundo término de (7.35) puede usarse para
cuantificar los cambios en el excedente del consumidor atribuible
a cambios en precios y cualidades, lo cual se puede ver
también como una medida del beneficio del consumidor de
introducir una nueva variante..

El consumidor representativo
multinomial:

Suponga un consumidor con una función de utilidad
aleatoria = Y – pi + ai + ei . Las demandas esperadas
vendrán dadas por:

A través de la función de utilidad
indirecta para un consumidor representativo, se puede definir
como:

Con el fin de ilustrar estas funciones, suponga el caso
de que m=2 las demandas serán:

Dado que las demandas para las variantes son
independientes del ingreso y dependen multiplicativamente de N,
debe esperarse una función de utilidad directa de la
forma:

Sustituyendo e integrando para recobrar u:

Autor:

Betancourt Virginia

Aguirre Kimberling

Solano Darianna

Profesor :

MSc. Ing. Iván
Turmero

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
POLITÉCNICA

ANTONIO JOSÉ DE SUCRE

VICE-RECTORADO PUERTO ORDAZ

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA
INDUSTRIAL

INGENIERÍA
FINANCIERA

Ciudad Guayana 10 de Diciembre de
2011